相对论
一维狭义相对论
说明
在 这个视频 的理解上补充一些推导过程。下面我用【公设】的形式尽量描述出推导的基础，我认为并没有很完备的、另行关联了“物理直觉”的地方用【暗示】来补充。
【公设 1】一维狭义 相对论的狭义指的是只研究一维匀速运动（后简称相对论），换参考系后匀速运动还是匀速运动。
【暗示 1】这条公设暗示的是一个物体的运动轨迹是 t-x 图像上的一条直线，相对论在换参考系的时候是对 t-x 图像上的所有点作线性变换，即考虑对所有坐标 (t,x) 作用一个矩阵。这么做可以变换前后保直线。另外要区分开什么是数学理论，什么是自洽的物理理论。
【公设 2】A 参考系下 B 的速度 与 B 参考系下 A 的速度 大小相同、方向相反。
【暗示 2】假设现在参考系从 A 所在直线换成了 B 所在直线，B 所在直线上的某点 (X1, T1) 转移到了 (X2, T2)，那么原图上的 (X2, T2) 跑到哪里去了？答案是 (-X1, T1)。或者等价地说，我们考虑这样一个过程：对 B 在 A 参考系下的坐标作用两次参考系 A 换到 参考系 B 的矩阵，会得到 -B。
【公设 3】光速变换前后都是常量 c。
【暗示 3】在 t-x 图像上，斜率是 c 的直线在变换前后保斜率。但仅此而已，速度为 c 的直线之间也未必能变换前后保同步。在求算矩阵的时候可以只取其中两条 x=ct 和 x=-ct，确定出矩阵内的数值后再检验所有斜率是 c 的直线保持斜率也无妨。
推导
从这里开始默认坐标由 空间位置（一维） 和 时空位置 来决定。
参考系 A 视角下的 \((x_0,t_0)\) 在参考系 B 视角下的坐标 \((x_1.t_1)\) 可以如此给出
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_0 \\
t_0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
t_1
\end{bmatrix}
\]
线性变换对光的保斜率性
分别代入速率为 \(c,-c\) 的光的轨迹，根据保斜率性有两条方程
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t_0\\
t_0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
ct_1 \\
t_1
\end{bmatrix}
\]
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-c t_0\\
t_0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-ct_1 \\
t_1
\end{bmatrix}
\]
可解得
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{1}{2}(\frac{t_1}{t_0}+\frac{t_2}{t_0}) & \frac{c}{2}(\frac{t_1}{t_0}-\frac{t_2}{t_0}) \\
\frac{1}{2c}(\frac{t_1}{t_0}-\frac{t_2}{t_0}) & \frac{1}{2}(\frac{t_1}{t_0}+\frac{t_2}{t_0})
\end{bmatrix}
\]
于是可以进一步确定变换矩阵形如
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\alpha & c\cdot\beta \\
\frac{1}{c}\cdot \beta & \alpha
\end{bmatrix}
\]
参考对象离自身距离始终为 0
记直线 B 为 \(x_0=vt_0\) ，在变换后成为了参考系，空间坐标为 \(0\) ，或者说它们在空间坐标为 0 的线上，从而
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v t_0\\
t_0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
t_3
\end{bmatrix}
\]
解得
\[
\alpha =\frac{c^2}{c^2-v^2}\cdot\frac{t_3}{t_0},\beta=\frac{cv}{v^2-c^2}\cdot\frac{t_3}{t_0}
\]
只剩下确定 \(\frac{t_3}{t_0}\) 了。
原先在空间坐标为 0 的线上的点去哪了
对直线 B 上的点 \((vt_{0},t_{0})\) 作用两次变换矩阵
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}^2
\cdot
\begin{bmatrix}
vt_0 \\
t_0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-vt_0 \\
t_0
\end{bmatrix}
\]
我暂时不知道能不能一眼出
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\]
的约束，我们还是用蠢方法，手动迭代两次，可以得到（中间计算过程比较暴力冗长）
$$
\frac{(\frac{t_3}{t_0})^2}{(c^2-v^2)^2}(c^4-c^2v^2)=1
$$
继而
\[
\frac{t_3}{t_0}=\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}
\]
这就有 \(\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}}\operatorname{d}t_3=\operatorname{d}t_{0}\) ，即所谓的时间延缓效应。
一维狭义相对论的思维实验
若干公设可以确定下来这样的变换矩阵
\[
\begin{bmatrix}
\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}} & -\frac{cv}{\sqrt{c^2-v^2}} \\
-\frac{v}{c\sqrt{c^2-v^2}}& \frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}
\end{bmatrix}
\]
首先观察一下它的行列式，等于 \(1\) ，至于为什么我还不知道。
我们代入若干 toy model 中进行自洽性检验。
保持光速
我们验证在线性变换对光的保斜率性一节中交代的保持光的斜率的性质。对于
\[
\begin{bmatrix}
ct+x_0 \\
t
\end{bmatrix}
\]
作用变换矩阵得到
\[
\frac{1}{\sqrt{c^2-v^2}}
\begin{bmatrix}
(c^2-cv)t+cx_0 \\
(c-v)t-\frac{v}{c}x_0
\end{bmatrix}
\]
上面的式子可以表示成关于下面的式子的一次函数（常数项含 \(x_0\) 不含 \(t\) ），也就是说斜率为
\[
\frac{c^2-cv}{c-v}=c
\]
行列式为 1 的线性变换
一个显然的例子
\[
\begin{bmatrix}
\cos\varphi & -\sin\varphi \\
\sin\varphi & \cos\varphi
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
r\cos\theta \\
r\sin\theta
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
r\cos(\theta+\varphi) \\
r\sin(\theta+\varphi)
\end{bmatrix}
\]
我们确认下来这个矩阵的行列式的一步在于原先在空间坐标为 0 的线上的点去哪了。
\(2\times 2\) 线性变换的行列式为 1，等价于保面积？
\(3\times 3\) 线性变换的行列式为 1，等价于保体积？
~~如果这样没错的话，~~我是傻呗，证明相当简单。
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 & x_{2}\\
y_1 & y_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_1' & x_{2}'\\
y_1' & y_{2}'
\end{bmatrix}
\]
写出这个式子无非是把两个下面这样的式子拼在一起写。
\[
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_i\\
y_i
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_i'\\
y_i'
\end{bmatrix}
\]
而我们对于该式两侧同取行列式
\[
\left|\begin{matrix}
a_{11} & a_{12}\\
a_{21} & a_{22}
\end{matrix}\right|
\left|\begin{matrix}
x_1 & x_{2}\\
y_1 & y_{2}
\end{matrix}\right|
=
\left|\begin{matrix}
x_1' & x_{2}'\\
y_1' & y_{2}'
\end{matrix}\right|
\]
后面两个行列式的几何意义就是面积。
根据 【公设 2】，直接得到变换矩阵的行列式为 1，就避免了手动计算一次矩阵乘法的脏活。或者说，这条公设这是进行了一个“轴对称”的等面积变换。这里的“轴对称”，实际上只是表明两个长度交换了。这就规定了矩阵的行列式必然是 1。
火车车长的尺缩
对于火车中心的观察者，火车头是直线 \(x=\frac{L}{2}\) ，火车尾是 \(x=-\frac{L}{2}\) 。
火车外面静止的人是直线 \(x=x_0+vt\) ，其中 \(v<0\) 。先前我们进行换系的对象是 \(x=vt\) ，我们暂时不太确定怎么换，但可以姑且猜想这一步可以由这样一条公设得到：
【公设 4】对于速度相同的对象换系，等价于空间坐标的平移变换。
【暗示 4】某种程度上来说我们只是在描述变换序列的某种可交换、结合性。对于一个变换，我们可以把它拆分成若干个子变换复合。对于速度相同的对象换系，我们得保证对于相对静止对象成立的那些性质（比如说距离不变）得到保持，最合适的一种变换就是空间坐标的平移变换。
好，我们干脆设静止的人是直线 \(x=vt\) ，其中 \(v<0\) 。
变换矩阵为
\[
\begin{bmatrix}
\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}} & -\frac{cv}{\sqrt{c^2-v^2}} \\
-\frac{v}{c\sqrt{c^2-v^2}}& \frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}
\end{bmatrix}
\]
火车头
\[
\begin{bmatrix}
\frac{L}{2} \\
t
\end{bmatrix}
\mapsto
\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}
\begin{bmatrix}
\frac{L}{2}-v\cdot t \\
-\frac{v}{c^2}\cdot\frac{L}{2}+t
\end{bmatrix}
\]
同理火车尾
\[
\begin{bmatrix}
\frac{L}{2} \\
t
\end{bmatrix}
\mapsto
\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}
\begin{bmatrix}
\frac{-L}{2}-v\cdot t \\
-\frac{v}{c^2}\cdot\frac{-L}{2}+t
\end{bmatrix}
\]
在换系后测量长度，需要要求 \(t'\) 相同。分别设车头、车尾变系前的时间为 \(t_1,t_2\) ，则
$$
t_1-t_2=\frac{v}{c^2}L
$$
从而换系后的空间距离
\[
\begin{aligned}
\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}(L-v(t_1-t_2))&=\frac{c}{\sqrt{c^2-v^2}}(L-v^2/c^2L) \\
&=\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}L < L
\end{aligned}
\]
火车中心发光的同时性实验
对于火车中心的观察者，火车头是直线 \(x=\frac{L}{2}\) ，火车尾是 \(x=-\frac{L}{2}\) ，打向火车头的光线是 \(x=ct\) ，打向火车尾的光线是 \(x=-ct\) 。静止的人是直线 \(x=vt\) ，其中 \(v<0\) 。
在这个参考系下，光线到达火车头是直线 \(x=\frac{L}{2}\) ，打向火车头的光线是 \(x=ct\) ，它们的交点就是火车中心的观察者观察到光线打到了火车头！
后续的演算和前一个例子是一样的。然而这样的练习多做无益，能不能设计一个更直观、更 practical 的方法呢？
如何获得上述问题的几何直观
首先明确，光线上的点在变换后还是在相同直线上。
在上述问题中，已经把“光线到达火车头”转换成了“两直线交点”这一几何直观。线性变换是保两直线交点的，所以可以想象成这个点在光所在的直线上滑动。
我们记原来“光线到达火车头”为 \(P_1\) ，“光线到达火车尾”为 \(P_2\) 。
其次明确，变换有保面积性。而两个方向的光线在变换前后不变，夹角自然也不会变。
也就是说 \(|OP_1||OP_2|=|OP'_1||OP'_2|\) 。我们几乎可以想象，变换前后这两个点一个沿直线向上滑动，一个沿直线向下滑动，从而破坏了“同时性”（即 \(t\) 轴不再等同）。也就是说，“同时性”在相对论中是随着参考系的变化可被改变的！
至于哪个变成先发生的，我们可以从 \(x=vt\) 变为 \(x=0\) 感知到伸缩的大致方向。
或者进一步的，在这条线上取一个点，同样利用保持面积进行严格定性论证。
提示：取哪两个点我们可以得到变换后的夹角减小，同时非光线上的点到原点的距离会减小？
一个点是原来 \(x=vt\) 上的，所以实际上就是两条光线二选一。为了夹角减小，我们取和 \(x=vt\) 异侧的光线。
可以考虑计算时间延缓效应的结果，\(x=vt\) 上的点换系后 \(t\) 轴减小，同时 \(x\) 轴也减小。